接 谈谈数学文化与数学教育（一）

　　模式化思维赖以出发的起点，从某种意义上说，也可以说是一个公理系统，只不过它是一个较庞大的体系，不是最简单的，不证自明的。模式化思维的论证方法，虽然从总体上说不是演绎的，但它的一些局部、许多细节却是演绎的，与公理化方法并无二致。

　　例如南北朝学者范缜在《神灭论》中写道：“神之于形，犹利之于刀.未闻刀没而利存，岂容形亡而神在。”“神之于形，犹利之于刀”，并不是不证自明的公理，也不是从某些不证自明的公理出发推出的结论，而只是一种“比类”、“取象”。所以范缜的推理方法是模式化的，其结论不一定正确。但如何把“神之于形，犹利之于刀”当作一条公理（无异于把“物质是第一性的”还是“精神是第一性的”当作公理），那么“未闻刀没而利存，岂容形亡而神在”则是完全用演绎方法推出的结论，当然是正确的。

　　培养国民的思维品质，无疑是中小学教育的任务之一。我国人民长期习惯于模式化思维方法，即使在今天，对国民的公理化思维方法的训练仍然任重而道远。另一方面，对模式法思维方法也必须继承、发扬和提高。总之，培养学生能把两种思维方式融会贯通的能力，数学教育对此有责无旁贷的任务。除了在数学本身的学习中不断地培养其公理化思维和模式化思维方法之外，还要借助数学文化的作用，如介绍《原本》、《九章算术》、机械证明、计算机模拟等，可以提高学生的思维品质。

三、更新数学教育理念

　　数学是一种思维科学，它的结论是世界性的，没有民族、地区的区别。但数学发展的道路，却与地域、文化、思维习惯有关。以《原本》为代表的公理化方法为数学的发展作出了巨大的贡献。我国古代数学则是一种程序化、模式化的数学，同样为数学的发展作出过重要的贡献。微积分的发明在西方，而机器证明的成功却在中国使人们重新认识了东方数学的价值。英年早逝的印度数学家拉玛努扬（Rammannjan，1887~1920）的思维方法是独特的，完全不同于现代数学中西方数学家的流派。他在病中写下的笔记里包含600条公式，人们不知道他是怎样得来的，其中有的公式到20世纪50年代才有人给出证明，有的甚至至今尚未证明。但可以肯定的是，其中有许多富有意义的成果。他的数学思想，常常仅凭直观就能得到许多正确的结论。这些现象，应该说是一种数学文化的反映。我们的数学教材，是不是应该注意到这种现象。

　　中小学数学课程主要包含两方面的内容：逻辑地开展的几何学和非逻辑地推进的代数。如何正确地处理它们之间的关系，是数学教育改革中重要的一环。我们高兴地看到：某些按课标的思想编写的数学教材，在处理这一关系方面作了可贵的尝试。例如，有的新教材在代数部分强调“模型”，重视“算法”，较多地使用“猜想”和“归纳”。但是对逻辑化和几何则似乎过分削弱，迟迟不敢使用“定义”“定理”“证明”这些术语。虽然通过猜想，归纳出了大量的几何知识，但却不给予逻辑的、严格的证明，而是集中到九年级的教材中才集中地挑选其中的一些定理，示范性给予证明。这种做法就值得商榷了。初中几何教学的目的，主要不是几何定理（那是无穷无尽的）的罗列，而是公理化思维方法能力的培养，这不单纯是数学教育的目的，而且是文化素质教育的目的。大量的几何定理，绝大部分人可能不知道； 而公理化的思维方法，则是每个人都应该熟悉的。因此在初中几何教材中，具体的几何内容可以合理地尽量精简，但它的论证方法与思维模式则不宜削弱。

　　数学的教学方式，长期以来，大概是两种类型：一种是新授课，它的基本程序是：给出定义，提出定理，给予证明，发掘推论；一种是习题课，它的基本方法是：例题示范，总结规律，仿效练习，课外作业。前者是公理化思维方式的应用，后者是模式化思维的反映。尽管近年来各种新的教学理论层出不穷，异彩纷呈，但总的框架大抵仍不外乎这两种类型的改进或变化。我们的教学理念要更新，也应该提高到数学文化的层面来认识。对于新教学理念的建立，有必要研究一下它的数学文化背景。

　　例如，现在颇为流行的一种教学方法，即：创设情境，让学生从熟悉的现实生活中提出数学问题，然后归纳、猜想出结论。这当然是好的想法。但是也必须看到，如果一味地为创设情境而创设情境，太多的矫揉造作，过分地喧宾夺主，既浪费学生宝贵的时间，也会削弱自身发展的内力，最终削弱抽象思维的力量。强调经世致用的中国古代数学，最终成为导致中国近代数学落后的原因之一。数学文化告诉我们：像“七桥问题”“三十六军官问题”，都是从解决实际问题出发而导致新的数学分支的建立。但建立非欧几何、寻找几百位的大质数等，开始时完全与实际问题无关，可是在今天它们都在现实中找到了出色的应用。

四、培养学生的思维品质

　　数学教育不仅能提高人们的思维品质，还能提高人们的思想品质。数学教育在很大程度上是一种文化素质的教育。我国古代把数学教育列为“六艺”之一，是当作文化素质教育的一部分而设置的。古希腊学者柏拉图在他的学园门口悬挂着一块写着“不懂几何学的人不准入内”的牌子，并不是他的学园内开设的课程与几何学有什么直接的联系。其实柏拉图学园的主要课程是一些关于社会学、政治学和伦理学之类的课程。他认为，一个没有足够的数学训练的学生，是难以创造性地学好这些课程的。据说英国的律师在大学里要学习许多高深的数学知识，并不是这些数学知识对未来的律师们所从事的工作有什么直接的用途，而是学校当局深信不疑地认为，只有通过数学训练，才能培养未来律师们所需要的那种坚韧不拔、实事求是、公正公平的品质，才能缜密细致、临危不乱，在错综复杂、头绪纷纭的案件中迅速理清案情的脉络，抓住问题的要害。20世纪50年代，我国高考文理分科以后，文科的考生是不考数学的。70年代末重新恢复高考后，报考文科的学生同样要考试数学，显然其中的主要理由仍然是出于文化素质的考虑。

　　在数学文化的熏陶之下，不少数学家既在数学上功绩卓著，在思想品质上也堪称楷模。

　　数学家阿基米德为了保卫祖国，满怀热情地贡献出自己所有的科学技术知识，帮助军队屡次重创入侵之敌。但终因敌强我弱，力量悬殊，阿基米德居住的叙拉古城被敌人攻破了。城破之日，这位已经75岁高龄的数学家还在潜心研究几何图形，最终牺牲于敌人的屠刀之下。为了事业的执着追求，一代哲人献出了宝贵的生命。

　　数学家欧拉不仅在数学领域取得了无与伦比的成就，而且在天文学、航海学、建筑学等多种科学领域中也有许多杰出的成就。由于用功过度，积劳成疾，在59岁的时候他双眼失明。在64岁时，一场火灾又把他的全部藏书和研究成果化为灰烬。但是天灾人祸压不倒科学巨星，欧拉从头做起，在失明后的17年中，凭着他渊博的知识和惊人的记忆力，坚持科学研究，用口授给儿女记录的方法又发表了多部专著，400多篇论文，占他一生著作的一半以上。

　　俄国数学家罗巴契夫斯基建立了非欧几何的理论。由于他的学说违背了两千多年来的传统思想，不仅动摇了欧几里德几何神圣不可侵犯的权威，也动摇了哲学的大厦；不仅改变了人们认识真理的方法，甚至违背了人们的“常识”。因此，他的学说一发表，就遭到了围剿， 怀疑、蔑视始于前，侮辱、谩骂踵于后。大主教宣布他的学说是“邪说”，传媒的大块文章写他是“疯子”，学术权威说他的学说是“荒唐透顶的伪科学”。但他无惧无畏，寸步不让， 表现出一个科学家为追求真理所需要的勇敢，奋然而前行。

　　法国著名数学家阿贝尔，印度数学家拉玛努扬，中国元朝的数学家李冶，当代数学家华罗庚都曾经在生活的极端贫困中，坚忍不拔，坚持数学研究。

　　数学家们还有太多的可敬可佩的人物，可歌可泣的故事，为我们在数学教育中培养学生的思想品质提供了丰富的素材。

　　总之，数学文化为我们提供了丰富的素材，适当地选择利用对激发学生学习数学的兴趣是极有帮助的。（续完）

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